Рефераты Властивості визначеного інтеграла

Вернуться в Математика

Властивості визначеного інтеграла
Властивості визначеного інтеграла


1. Властивості визначеного інтеграла

10 Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування:

тощо.

Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.

Визначений інтеграл введений для випадку, коли a<b. Узагальнимо поняття інтеграла на випадки, коли a=b i a>b.

20. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

30. Від переставлення меж інтегрування інтеграл змінює знак на протилежний:

(33)

Властивості 20 і 30 приймають за означенням. Відзначимо, що ці означення повністю виправдовує наведена далі формула Ньютона – Лейбніца.

40. Якщо функція f(x) інтегрована на максимальному з відрізків [a;b], [a;c], [c;b], то справедлива рівність

(34)

(адитивність визначеного інтеграла).

Припустимо спочатку, що a<c<b. Оскільки границя інтегральної суми не залежить від способу розбиття відрізка [a;b] на частинні відрізки, то розіб’ємо [a;b] так, щоб точка с була точкою розбиття. Якщо, наприклад, с=хт , то інтегральну суму можна розбити на дві суми:

.

Переходячи в цій рівності до границі при , дістанемо формулу (34).

Інше розміщення точок a, b, с зводиться до вже розглянутого.

Якщо, наприклад, a<b<c, то за формулами (34) і (33) маємо

На рис. 7.5 показано геометрично цю властивість для випадку, коли і a<b<c: площа трапеції aABb дорівнює сумі площ трапеції aACc i cCBb.

Зауваження. Нехай f(x) – знакозмінна неперервна функція на відрізку [a;b], де a<b, наприклад, (рис.7.6)

Скориставшись адитивністю та геометричним змістом інтеграла, дістанемо

де S1, S2, S3 – площі відповідних криволінійних трапецій.

Отже, в загальному випадку, з погляду геометрії визначений інтеграл (27) при a<b дорівнює алгебраїчній сумі площ відповідних криволінійних трапецій, розміщених над віссю Ох, мають знак плюс, а нижче осі Ох – знак мінус. Якщо a>b то все формулюється навпаки .

Зазначимо, що площа заштрихованої на рис. 7.6 фігури виражається інтегралом

50. Сталий множник С можна винести за знак визначеного інтеграла

(35)

Дійсно

60. Визначений інтеграл від суми інтегрованих функцій дорівнює сумі визначених інтегралів від цих функцій:

(36)

Для довільного τ – розбиття маємо

Звідси, переходячи до границі при дістанемо формулу (36). Ця властивість має місце для довільного скінченого числа доданків.

Властивості 50 і 60 називають лінійністю визначеного інтервала.

70. Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо

Добавить в Одноклассники    

 

Rambler's Top100