Рефераты Лінійні, однорідні та неоднорідні різницеві рівняння

Вернуться в Математика

Лінійні, однорідні та неоднорідні різницеві рівняння
Лінійні, однорідні та неоднорідні різницеві рівняння


Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами

Означення. Лінійним різницевим рівнянням n-го порядку називається рівняння

(1)

де - сталі коефіцієнти. Якщо виразимо оператори різниць через оператор зсуву S, то можемо записати різницеве рівняння в рівнозначній формі

(2)

Число n називається порядком різницевого рівняння. Це рівняння можна також записати в операторній формі

(3)

Якщо , то різницеве рівняння називається однорідним, якщо , то рівняння називається неоднорідним.

Нагадаємо, що оператор зсуву S

(4)

Далі, замість слів “різницеве рівняння” будемо використовувати позначення РР. Для однозначного визначення розв’язків РР достатньо задати початкові умови

(5)

Означення. Розв’язком РР (2) називається послідовність (k=0, 1, 2,...), яка при підстановці її в РР (2) перетворює його в тотожність.

Приклад. Покажемо, що послідовність є розв’язком РР . Підставляючи значення , в РР, одержимо тотожність

2. Однорідні різницеві рівняння

Наведемо деякі властивості розв’язків однорідного РР

(6)

Якщо РР (6) має частинні розв’язки , то воно має також розв’язок

Якщо РР (6) має два розв’язки то воно має також розв’язок Звідси маємо, що РР має розв’язок:

Означення: Розв’язок РР (6) при .

(7)

називають загальним, якщо за рахунок вибору довільних сталих С1, С2,..., Сn можна задовольнити довільні початкові умови (6).

Якщо (7) загальне рішення РР (7), то система лінійних алгебраїчних алгебраїчних рівнянь

Завжди має розв’язок відносно сталих С1, С2, ..., Сn.

Означення. Визначник

(8)

називається визначником Вронського.

Замінюючи k на k+1 у визначнику (8), одержимо рівняння для значника Вронського

Л. Ейлер запропонував загальний метод розв’язання РР (6). Розглянемо спочатку РР першого порядку .

З рівняння при k=0, 1, 2... одержимо рівняння

Виходячи з цього, РР (6) має частинний розв’язок.

Розв’язок обмежено при , прямує до нуля при

Добавить в Одноклассники    

 

Rambler's Top100