Рефераты Великая теорема Ферма

Вернуться в Математика

Великая теорема Ферма
.

Пусть n = 2q. Тогда x2 = 4mq и потому mq = (x/2)2. Поскольку НОД(m; q) = 1, а x чётно, то, исходя из леммы 1, m = z12; q = t2, где z1 и t – некоторые целые взаимно простые положительные числа. В частности, уравнение y2 = m2 – n2 то же самое, что и y2 = (z12)2 – (2t2)2, т. е. (2t2)2 + y2 = (z12)2.

Так как НОД(t; z1) = 1, то к этому неравенству снова применима лемма 2. Следовательно, существуют такие положительные взаимно простые числа a и b < a различной чётности, что 2t2 = 2ab, т. е. t2 = ab; y2 = a2 – b2; z12 = a2 + b2. Так как НОД(a; b) = 1, из равенства t2 = ab по лемме 1 вытекает, что существу целые числа x1 и y1, для которых a = x12; b = y12. Поэтому z12 = a2 + b2 то же, что и x14 + y14 = z12. Это означает, что числа x1, y1, z1 составляют примитивное решение уравнения (2), состоящее из положительных чисел. Поэтому в силу выбора решения (x; y; z), должно иметь место неравенство z1 ³ z, а потому и неравенство z12 ³ z, т. е., учитывая, что z = m2 + n2, m ³ m2 + n2, чего быть не может, т. к. m, n > 0.

Таким образом, предположение о существовании у записанного выше уравнения (2) целочисленных решений приводит к противоречию. Следовательно, это уравнение не имеет решений в целых отличных от нуля числах.

Примечания к доказательствам

Доказательство леммы 1 здесь дано не то, которое было известно ещё из средневековья, а то, что придумал я сам, основанное в большей степени на логических выводах. Теорема Ферма для показателя 4 (и все прилагающиеся для её доказательства леммы) – это единственная теорема, доказанная здесь, т. к. доказательство её считается элементарным, т. е. основанным на простых алгебраических преобразованиях чисел, известным ещё индусам. Доказательство же это было здесь необходимо, т. к. ещё даже у Ферма оно было, только в несколько иной форме.

Во Франции не так давно появилась книга, являющаяся, вроде как, полным доказательством Великой теоремы Ферма, но в ней использовано столько новых в математике абстрактных понятий, что проверить эти труды, кроме автора, никто не может.

Список литературы

1.) М. М. Постников «Теорема Ферма», М., 1978

2.) Б. В. Болгарский «Очерки по истории математики», Минск, 1979

3.) М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике», М., 1974.

4.) Сеть Internet


Добавить в Одноклассники    

 

Rambler's Top100