Рефераты Уравнения математической физики, читаемым авторов на факультете Прикладная математика в МАИ

Вернуться в Математика

Уравнения математической физики, читаемым авторов на факультете Прикладная математика в МАИ
§ 1.Тема. Некоторые определения и обозначения.


Определение.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные
неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной,
то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных
производных.
Определение.
Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение,
называется порядком уравнения.
Определение.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама
неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.
[pic] (1)
Пусть выбран любой[pic], где [pic], и его норма:
[pic]- дифференциальный оператор.
[pic] - запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора.
(2)
Определение.
Открытое, связное множество [pic] называется областью.
По умолчанию будем считать область ограниченной.
Через [pic]или [pic] будем обозначать границу области.
Определение.
[pic] - (n-1)-мерное многообразие S в [pic] принадлежит классу [pic]
([pic]), если
для [pic] и [pic] такие, что:
[pic], где [pic]
[pic] однозначно проектируется на плоскость [pic], при этом:
D - проекция данного множества на плоскость [pic], [pic] - k раз непрерывно
дифференцируема в D по всем переменным.
[pic]
Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату
выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.
[pic] - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.
[pic] - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в [pic].
[pic], аналогично [pic].
[pic] - множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.
Аналогично: [pic].

§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго
порядка.
[pic].
[pic] - матрица квадратичной формы.
[pic] - n вещественных собственных значений матрицы A
[pic] - количество положительных собственных значений.
[pic] - количество отрицательных собственных значений.
[pic] - количество нулевых собственных значений с учетом кратности.

1.Если [pic]= n или [pic]= n, то это эллиптическое уравнение.
Ex: Уравнение Пуассона
[pic].
2.Если [pic] = n - 1, [pic] = 1, или [pic] = 1, [pic] = n - 1, то
уравнение гиперболическое.
Ex: [pic] - волновое уравнение.
Для уравнения Лапласа:
[pic]
Для волнового уравнения:
[pic]
3.Если [pic], а [pic], то ультрагиперболическое уравнение.
Ex: [pic].
4.Если [pic], то параболическое уравнение.
Ex: [pic], и - уравнение теплопроводности.
[pic]
Определение.
Каноническим видом линейного дифференциального уравнения в частных
производных называется такой вид, когда матрица A является диагональной.

Приведение к каноническому виду.
1) y=y(x), то:
[pic]
Уравнение (1) в новой системе координат:
[pic] (1')
Матрица Якоби:
[pic].
В результате:
| |
|[pic] |
| |


Ex:
[pic]
гиперболическое уравнение.
[pic] - канонический вид волнового уравнения.
Замечание: тип уравнения может быть различный в различных точках.
§ 3.Постановка начальных и краевых задач для уравнений в частных
производных.
Задача Коши для волнового уравнения:
[pic] [pic]
Уравнение теплопроводности
[pic] [pic]
Уравнение Пуассона
[pic]
Определение.
Если малые изменения правой части уравнения приводят к большим изменениям в
решении, то задача считается некорректной.
[pic] (6)
[pic] (7.1)
[pic] (7.2)
[pic] (7.3)
(6)(7.1) - первая краевая задача, задача Дирихле.
(6)(7.2) - вторая краевая задача, задача Неймана.
(6)(7.3) - третья краевая задача.

Волновое уравнение.
[pic] (8)
[pic]
[pic] (9)
[pic] (10)
[pic] (11
10 11 12 13 14 15 16 17 
Добавить в Одноклассники    

 

Rambler's Top100