Рефераты Теория устойчивости

Вернуться в Математика

Теория устойчивости
4. Критерий устойчивости Михайлова.
Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое
применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости
замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ) ;
во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально
определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных
характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.
А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике
Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем
регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали
его именем. Рассмотрим существо этого критерия.
Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
D ( ( ) = ( n + a1 ( n-1 + a2 ( n-2 + ... + an =
0. (13)
Зная его корни ( 1 , ( 2 , ... , ( n , характеристический
многочлен для уравнения (13) запишем в виде
D ( ( ) = ( ( - ( 1 ) ( ( - ( 2 ) ... ( ( - ( n ).
(14)


Im Im



0 Re 0 Re



а) б)

Рис.12. Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения
замкнутой системы на плоскости :
а - для двух корней ( и ( i ;
б - для четырех корней ( 1 , ( ‘1 , ( 2 , ( ‘2


Графически каждый комплексный корень ( можно представить точкой на
плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14)
можно представить в виде разности двух векторов ( ( - ( i ), как это
показано на рис.12,а. Положим теперь, что ( = j ( ; тогда
определяющей является точка ( на мнимой оси (рис.12,б). При изменении
( от - ( до + ( векторы j ( - ( 1 и j ( - ( ‘1
комплексных корней ( и ( ‘1 повернуться против часовой стрелки, и
приращение их аргумента равно + ( , а векторы j ( - ( 2 и j
( - ( ‘2 повернутся по часовой стрелке, и приращение их аргумента
равно - ( . Таким образом, приращение аргумента arg( j ( - (
i ) для корня характеристического уравнения ( i , находящегося в левой
полуплоскости, составит + ( , а для корня, находящегося в правой
полуплоскости, - ( . Приращение результирующего аргумента ( arg D(
j ( ) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если
сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой
полуплоскости, то приращение аргумента составит
( arg D( j ( ) = ( n - m ) ( - m ( = ( n - 2m ) ( .
(15)
- ( < ( < ( для левой для правой
полуплоскости полуплоскости
Отметим теперь, что действительная часть многочлена
D ( j ( ) = ( j ( )n + a1 ( j ( )n-1 + a2 ( j ( )n-2 + ... + an
(16)
содержит лишь четные степени ( , а мнимая его часть - только нечетные,
поэтому
arg D ( j ( ) = - arg D ( -j ( ),
(17)
и можно рассматривать изменение частоты только на интервале ( от 0 до
( . В этом случае приращение аргумента годографа характеристического
многочлена
( arg D( j ( ) = ( n - 2m ) ( / 2 .
(18)
0 ( ( < (
Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что
приращение аргумента
( arg D( j ( ) = n ( / 2 .
(19)
0 ( ( < (
На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий
устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического
регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф
характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова)
начинался на положительной части действительной оси и проходил
последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат,
n квадрантов комплексной плоскости ( здесь n - порядок характеристического
уравнения системы)
Добавить в Одноклассники    

 

Rambler's Top100