Рефераты Теория игр и принятие решений

Вернуться в Математика

Теория игр и принятие решений
Теория игр и принятие решений.



В зависимости от условий внешней среды и степени информативности лица
принимающего решение (ЛПР) производится следующая классификация задач
принятия решений:
а) в условиях риска;
б) в условиях неопределённости;
в) в условиях конфликта или противодействия (активного противника).


Часть 1. Теория полезности и принятия решений.


Глава 1. Принятие решений в условиях риска.


(1. Критерий ожидаемого значения.


Использование критерия ожидаемого значения обусловлено стремлением
максимизировать ожидаемую прибыль (или минимизировать ожидаемые затраты).
Использование ожидаемых величин предполагает возможность многократного
решения одной и той же задачи, пока не будут получены достаточно точные
расчётные формулы. Математически это выглядит так: пусть Х( случайная
величина с математическим ожиданием MX и дисперсией DX. Если x1,x2,...,xn (
значения случайной величины (с.в.) X, то среднее арифметическое их
(выборочное среднее) значений [pic] имеет дисперсию [pic]. Таким образом,
когда n ( (
[pic]( 0 и [pic]( MX.
Другими словами при достаточно большом объёме выборки разница между
средним арифметическим и математическим ожиданием стремится к нулю (так
называемая предельная теорема теории вероятности). Следовательно,
использование критерия ожидаемое значение справедливо только в случае,
когда одно и тоже решение приходится применять достаточно большое число
раз. Верно и обратное: ориентация на ожидания будет приводить к неверным
результатам, для решений, которые приходится принимать небольшое число раз.

Пример 1. Требуется принять решение о том, когда необходимо проводить
профилактический ремонт ПЭВМ, чтобы минимизировать потери из-за
неисправности. В случае если ремонт будет производится слишком часто,
затраты на обслуживание будут большими при малых потерях из-за случайных
поломок.
Так как невозможно предсказать заранее, когда возникнет неисправность,
необходимо найти вероятность того, что ПЭВМ выйдет из строя в период
времени t. В этом и состоит элемент (риска(.
Математически это выглядит так: ПЭВМ ремонтируется индивидуально,
если она остановилась из-за поломки. Через T интервалов времени выполняется
профилактический ремонт всех n ПЭВМ. Необходимо определить оптимальное
значение Т, при котором минимизируются общие затраты на ремонт неисправных
ПЭВМ и проведение профилактического ремонта в расчёте на один интервал
времени.
Пусть рt ( вероятность выхода из строя одной ПЭВМ в момент t, а nt (
случайная величина, равная числу всех вышедших из строя ПЭВМ в тот же
момент. Пусть далее С1 ( затраты на ремонт неисправной ПЭВМ и С2 (
затраты на профилактический ремонт одной машины.
Применение критерия ожидаемого значения в данном случае оправдано, если
ПЭВМ работают в течение большого периода времени. При этом ожидаемые
затраты на один интервал составят
ОЗ = [pic],
где M(nt) ( математическое ожидание числа вышедших из строя ПЭВМ в момент
t. Так как nt имеет биномиальное распределение с параметрами (n, pt), то
M(nt) = npt . Таким образом
ОЗ = [pic]
Необходимые условия оптимальности T* имеют вид:
ОЗ (T*-1) ( ОЗ (T*),
ОЗ (T*+1) ( ОЗ (T*).
Следовательно, начиная с малого значения T, вычисляют ОЗ(T), пока не будут
удовлетворены необходимые условия оптимальности.
Пусть С1 = 100; С2 = 10; n = 50. Значения pt имеют вид:

| | |[pic| |
|T |рt |] |ОЗ(Т) |
|1 |0.05|0 |[pic] |
|2 |0.07|0.05|375 |
|3 |0.10|0.12|366.7 |
|4 |0.13|0.22|400 |
|5 |0.18|0.35|450 |

T*( 3 , ОЗ(Т*) ( 366.7

Следовательно профилактический ремонт необходимо делать через T*=3
интервала времени