Рефераты Теория вероятности

Вернуться в Математика

Теория вероятности
Математический аппарат современной экономики часто используется на основе
традиционной теории вероятности, однако сама теория вероятности основана на
системе аксиом. Для этой теории характерна частотная интерпретация
вероятности события: мы не знаем, каков будет исход данного конкретного
эксперимента, но знаем, какова доля того или иного исхода во множестве всех
возможных исходов эксперимента, многократно поставленного при неизменных
начальных условиях. В теории вероятности предполагается, что случайные
величины распределены по некоторому распределению. В этом случае расчеты
существенно упрощаются. Такое предположение не лишено оснований, скажем,
при планировании инвестиций, при моделировании физических процессов
(существует теорема о том, что среднее от независимых случайных величин,
распределенных по произвольным законам, распределено по Гауссу). Итак, в
своем эссе я рассмотрю случайные величины и функции распределения.
Случайные величины
Определение. Пусть [pic]— произвольное вероятностное пространство.
Случайной величиной [pic]называется измеримая функция [pic], отображающая
[pic]в множество действительных чисел [pic], т.е. функция, для которой
прообраз [pic]любого борелевского множества [pic]есть множество из [pic]-
алгебры [pic].
Примеры случайных величин. 1) Число выпавшее на грани игральной кости.
2) Размер выпускаемой детали. 3) Расстояние от начала координат до случайно
брошенной в квадрат точки [pic].
Множество значений случайной величины [pic]будем обозначать [pic], а образ
элементарного события [pic]— [pic]. Множество значений [pic]может быть
конечным, счетным или несчетным.
Определим [pic]-алгебру на множестве [pic]. В общем случае [pic]-алгебра
числового множества [pic]может быть образована применением конечного числа
операций объединения и пересечения интервалов [pic]или полуинтервалов вида
[pic]([pic]), в которых одно из чисел [pic]или [pic]может быть равно
[pic]или [pic].
В частном случае, когда [pic]— дискретное (не более чем счетное) множество,
[pic]-алгебру образуют любые подмножества множества [pic], в том числе и
одноточечные.
Таким образом [pic]-алгебру множества [pic]можно построить из множеств
[pic]или [pic], или [pic].
Будем называть событием [pic]любое подмножество значений [pic]случайной
величины [pic]: [pic]. Прообраз этого события обозначим [pic]. Ясно, что
[pic]; [pic]; [pic]. Все множества [pic], которые могут быть получены как
подмножества [pic]из множества [pic], [pic], применением конечного числа
операций объединения и пересечения, образуют систему событий. Определив
множество возможных значений случайной величины [pic]— [pic]и выделив
систему событий [pic], построим измеримое пространство [pic]. Определим
вероятность на подмножествах (событиях) [pic]из [pic]таким образом, чтобы
она была равна вероятности наступления события, являющегося его прообразом:
[pic].
Тогда тройка [pic]назовем вероятностным пространством случайной величины
[pic], где [pic]
— множество значений случайной величины [pic]; [pic]— [pic]-алгебра
числового множества [pic]; [pic]— функция вероятности случайной величины
[pic].
Если каждому событию [pic]поставлено в соответствие [pic], то говорят, что
задано распределение случайной величины [pic]. Функция [pic]задается на
таких событиях (базовых), зная вероятности которых можно вычислить
вероятность произвольного события [pic]. Тогда событиями могут быть события
[pic].
Функция распределения и ее свойства
Рассмотрим вероятностное пространство [pic], образованное случайной
величиной [pic].
Определение. Функцией распределения случайной величины [pic]называется
функция [pic]действительного переменного [pic], определяющая вероятность
того, что случайная величина [pic]примет в результате реализации
эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа [pic]:
[pic](1)
Там где понятно, о какой случайной величине [pic], [pic]или [pic]идет речь,
вместо [pic]будем писать [pic]
Добавить в Одноклассники    

 

Rambler's Top100